Question

11．已知函數(shù)f（x）=（2a+1）x-ax²-（a+1）-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求得f（x）的解析式及導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=0，求得可能的極值點(diǎn)，令f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)的極值；
（Ⅱ）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于等于0可得導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，然后對a分類分析求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=3x-x²-2-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=3-2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{-2（x-\frac{1}{2}）（x-1）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1時，f′（x）＜0，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，f（x）取極小值f（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x=1時，f（x）取極大值f（1）=0．
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{-（x-1）（2ax-1）}{x}$，x∈[1，+∞），
①當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，則f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時，f（x）≥f（1）=0，適合；
②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$≥1，則f′（x）=$\frac{-2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，
當(dāng)x∈[1，$\frac{1}{2a}$]時，f′（x）≥0，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2a}$，+∞）時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[1，$\frac{1}{2a}$]是增函數(shù)，在[$\frac{1}{2a}$，+∞）是減函數(shù)，
當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時，f（x）＜0，故不適合，
③當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，1＞$\frac{1}{2a}$＞0，則f′（x）=$\frac{-2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$≤0，
則f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時，f（x）≤f（1）=0，不適合；
∴a的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是屬于難題．