Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理證明．
（2）建立空間直角坐標(biāo)，利用向量法求二面角的大�。�

解答：解：∵四邊形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過(guò)A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，
分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M(jìn)是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴M（0，1，1）．
（1）

AM

=(0，1，1)，

EC

=(0，2，0)-(0，0，2)=(0，2，-2)，

CB

=(2，2，0)-(0，2，0)=(2，0，0)，
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）設(shè)平面EBC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

⊥

AE

且

n

⊥

AB

，
∴

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0．
∴

2z=0 2x+2y=0

，取y=-1，則x=1，則

n

=(1，-1，0)．
又∵

AM

為平面EBC的一個(gè)法向量，且）

AM

=(0，1，1)，
∴cos＜

n

，

AM

＞=

n ? AM

| n || AM |

=-

1

2

，
設(shè)二面角A-EB-C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜

n

，

AM

＞|=

1

2

，
∴二面角A-EB-C等60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，運(yùn)算量較大．