已知函數(shù)

（Ⅰ）若試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）令若至少存在一個實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于零解得單調(diào)增區(qū)間，令導數(shù)小于零得單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）令導數(shù)等于零得，然后對在處斷開進行討論，在上求出函數(shù)的最小值，令其大于零解得的范圍；（Ⅲ）由于存在，使，則，令，則大于的最小值.

試題解析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，     3分

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．     4分

（Ⅱ） 由得．  5分                

①當時，．此時在上單調(diào)遞增．故，符合題意．        6分

②當時，．當變化時的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此可得，在上，．      8分

依題意，，又，所以．

綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．      9分

（Ⅲ）由于存在，使，則

令，則                               12分

當時，（僅當時取等號）

在上單調(diào)遞增， 因此．          14分

考點：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、導數(shù)綜合應(yīng)用.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年遼寧沈陽市高三教學質(zhì)量監(jiān)測（一）理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達式；

（Ⅱ）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明不等式：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年山東省高三下學期開學考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù).

（1）若曲線經(jīng)過點，曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）在（1）的條件下，試求函數(shù)（為實常數(shù)，）的極大值與極小值之差；

（3）若在區(qū)間內(nèi)存在兩個不同的極值點，求證：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江西省高三10月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

   （1）若在的圖象上橫坐標為的點處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

   （2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點，求a 取值范圍；

   （3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數(shù)m 的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年重慶市高三上學期第十次測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若且對任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，求證：

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省高三12月月考試題文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

   （I）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

   （II）若的一個極值點，求上的最大值；

   （III）在（II）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由。

 

 

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