Question

18．已知函數f（x）是定義域為[-2，2]的奇函數，且在[0，2]上單調遞增．
（Ⅰ）求證：f（x）在[-2，0]上單調遞增；
（Ⅱ）若不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]且x₁＜x₂，則0≤-x₂＜-x₁≤2，根據奇函數的性質、f（x）的單調性
判斷出f（x₁）＜f（x₂），由函數單調性的定義即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意判斷f（x）在[-2，2]上的單調性，根據單調性、定義域、對數的性質列出不等式組，由對數函數的性質求出實數m的取值范圍．

解答 證明：（Ⅰ）任取x₁、x₂∈[-2，0]，且x₁＜x₂，
則0≤-x₂＜-x₁≤2，
∵f（x）在[0，2]上單調遞增，且f（x）為奇函數，
∴f（-x₂）＜f（-x₁），則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-2，0]上單調遞增；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意知：f（x）在[-2，2]上單調遞增，
∴不等式f（log₂（2m））＜f（log₂（m+2））化為：
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤lo{g}_{2}^{（2m）}≤2}\\{-2≤lo{g}_{2}^{（m+2）}≤2}\\{lo{g}_{2}^{（2m）}＜lo{g}_{2}^{（m+2）}}\\{2m＞0，m+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{8}≤m＜2$，
∴實數m的取值范圍是$[\frac{1}{8}，2）$．

點評 本題考函數單調性的證明，奇函數與函數單調性的關系，以及對數函數的性質的應用，考查轉化思想，化簡、變形能力，注意函數的定義域．