Question

8．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=$\frac{π}{2}$，以AB為直徑的⊙O恰與CD相切于點(diǎn)E，⊙O交BC于F，連結(jié)EF．
（Ⅰ）求證：AD+BC=AB；
（Ⅱ）求證：EF是AD與AB的等比中項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OE，利用圓的直徑與梯形的中位線定理，即可證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）連接AF，利用勾股定理和切割線定理，結(jié)合題意即可求出EF是AD與AB的等比中項(xiàng)．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示，
連接OE，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
又OE⊥DC，
∠C=$\frac{π}{2}$，
∴OE∥BC，且OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AD+BC=AB；
（Ⅱ）∵CD與⊙O相切，
∴CE²=CF•CB，
連接AF，則AF⊥BF，
∴AF∥CD，
∴AD=FC，
∴EF²=CE²+CF²
=CF•CB+CF²
=CF•（CB+CF）
=AD•（CB+AD）
=AD•AB；
即EF是AD與AB的等比中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與圓有關(guān)的比例線段以及切割線定理的應(yīng)用問(wèn)題，考查了邏輯推理與證明能力，是綜合性題目．