已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，將BC邊n等分，沿從B到C的方向的分點(diǎn)依次為P1、P2、P3、…、Pn-1，設(shè)Sn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+
AP2
•
AP3
…+
APn-1
•
AC
，求證：Sn=
5n2-2
6n
（n∈N+，n≥2）．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用
分析：利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求得
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）[
AB
+（k+1）
BP1
]=
AB
2+（2k+1）
AB
•
BP1
+k（k+1）
BP1
2=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，再利用數(shù)列求和即可得出結(jié)論．
解答： 解：
APk
•
APk+1
=（
AB
+k
BP1
）[
AB
+（k+1）
BP1
]=
AB
2+（2k+1）
AB
•
BP1
+k（k+1）
BP1
2=1-
2k+1
2n
+
k2+k
n2
，
∴Sn=
AB
•
AP1
+
AP1
•
AP2
+
AP2
•
AP3
…+
APn-1
•
AC
=
AB
•
AP1
+（n-1）-
3+5+7+…+(2n-1)
2n
+
(1+1)+(22+2)+…+(n2-n)
n2

=1-
1
2n
+n-1-
(n+1)(n-1)
2n
+
n(n-1)
2
+
n(n-1)(2n-1)
6
n2
=
5n2-2
6n
（n∈N+，n≥2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的運(yùn)算及數(shù)列求和的知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（m-3）ex，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，b∈R，x＞0．曲線g（x）在x=1處的切線方程為y=3x
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，求h（x）=
1
2
kx2+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
（3）記經(jīng)過(guò)直線AD且與BC平行的平面為α，求點(diǎn)B到平面α的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，5個(gè)球除顏色外完全相同，甲、乙兩人先后不放回地從中各取1個(gè)球．規(guī)定：若兩人取得的球的顏色相同則甲獲勝，否則乙獲勝．
（1）求兩個(gè)人都取到黃球的概率；
（2）計(jì)算甲獲勝的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，一艘輪船在某海島附近的海上勻速直線航行，海島上一觀察哨A在上午11時(shí)測(cè)得輪船在海島北偏東60°的B處，12時(shí)20分測(cè)得輪船在海島北偏西60°的C處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距離海島5海里的D港口．
（Ⅰ）求證：S△ABC=4S△ACD；
（Ⅱ）求輪船的速度（單位：海里/小時(shí)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+
π
6
）（ω＞0），直線x=x1，x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且|x1-x2|的最小值為
π
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求使不等式f（x）≥
3
2
的x的取值范圍．
（3）若f（α）=
1
3
，α∈[-
π
3
，
π
6
]，求f（α+
π
6
）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（1，-1），
b
=（λ，1），
（1）當(dāng)
a
⊥
b
時(shí)，求λ的值．
（2）若
a
與
b
的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F為拋物線E：y2=2px（P＞0）的焦點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為2，且滿足|GF|=3．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），過(guò)點(diǎn)F作斜率為1K的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為2，連結(jié)AM、BM并延長(zhǎng)交拋物線于C、D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k2，判斷
k1
k2
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
log2x    x＞0
4x      x≤0
，則f[f（
1
4
）]=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案