Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

（1）當(dāng)AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

（2）是否存在m、p的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在.求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:（1）當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程x=1，從而點A的坐標(biāo)為（1，）或（1，）.?

因為點A在拋物線上,所以=2p,即p=.此時C₂的焦點坐標(biāo)為(,0).該焦點不在直線AB上.?

(2)解法一:假設(shè)存在m、p的值使C₂的焦點恰在直線AB上，由（1）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.?

由

消去y得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.                    ①?

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂、y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=，

由消去y得（kx-k-m）²=2px.         ②?

因為C₂的焦點F′(,m)在y=k(x-1)上,?

所以m=k(-1),即m+k=,?

代入②有(kx-) ²=2px,?

即k²x²-p(k²+2)x+.                          ③?

由于x₁、x₂也是方程③的兩根，?

所以x₁+x₂=,?

從而，p=.      ④?

又AB過C₁、C₂的焦點,?

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-x₂）.?

則p=4-(x₁+x₂)=.             ⑤?

由④⑤得,

即k⁴-5k²-6=0，解得k²=6，于是k=±,p=.?

因為C₂的焦點F（，m）在直線y=±(x-1)上，?

所以m=±(-1),即m=或m=-，由上知,滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.?

解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），?

因為AB既過C₁的右焦點F（1，0），又過C₂的焦點F′(,m)?

所以|AB|=（x₁+）+（x₂+）=x₁+x₂+p=（2-x₁）+（2-x₂）.?

即x₁+x₂=(4-p).                         ①?

由(1)知x₁≠x₂,p≠2,于是直線AB的斜率?

k=,                 ②?

且直線AB的方程是y= (x-1)，?

所以y₁+y₂= (x₁+x₂-2)=.      ③?

又因為

所以3(x₁+x₂)+4(y₁+y₂)·=0.         ④?

將①②③代入④得m²=.     ⑤?

因為?

所以y₁+y₂-2m=2p,                   ⑥?

將②③代入⑥得m²=.             ⑦?

由⑤⑦得.?

即3p²+20p-32=0.?

解得p=或p=-8（舍去）?

將p=代入⑤得m²=，所以m=或m=-,?

由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-.p=.

點評：本題主要考查了橢圓、雙曲線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查運算、綜合分析和解決問題的能力.