Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1處有極大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f （x）的解析式，只需得到含兩個a，b的等式，根據(jù)函數(shù)f （x）在x=-1處有極大值，可知，函數(shù)在x=-1處導數(shù)等于0，根據(jù)極大值為7，可知，x=7時，函數(shù)值等于7，這樣，就可求出a，b．
（Ⅱ）先對函數(shù)求導，再令導數(shù)大于0，解出x的范圍，為函數(shù)的增區(qū)間，令導數(shù)小于0，解出x的范圍，為函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）先求f （x）在x=1處的導數(shù)，就是f （x）在x=1處的切線的斜率，再利用點斜式，求出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²-2ax+6b，

f′(-1)=0 f(-1)=7

⇒

6+2a+6b=0 -2-a-6b=7

⇒

a=3 b=-2

，經(jīng)檢驗滿足題意      
∴f（x）=2x³-3x²-12x．      
（Ⅱ）∵f'（x）=6x²-6x-12，令 6x²-6x-12＜0，
令6x²-6x-12＞0，x²-x-2＜0，
x²-x-2＞0，（x+1）（x-2）＜0，
（x+1）（x-2）＞0，（x+1）（x-2）＜0，
∴x＜-1或x＞2．   （1分）∴-1＜x＜2      
∴f （x）在（-∞，-1）和（2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
f （x）在（-1，2）內(nèi)為減函數(shù)．
（Ⅲ）∵f'（x）=6x²-6x-12
∴f'（1）=-12（1分）∵f（1）=-13  
∴切線方程為y+13=-12（x-1），即y=-12x-1

點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)在某一點處的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及倒數(shù)的幾何意義，屬中檔題．