Question

【題目】已知橢圓E:()的左右焦點分別是，離心率，點在橢圓E上．

（1）求橢圓E的方程；

（2）如圖，分別過作兩條互相垂直的弦AC與BD，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由離心率求出關(guān)系，化簡標準方程，將點代入方程，即可求解；

（2）先考率兩直線斜率為0或斜率不存在的情況，當兩直線斜率存在且不等于0，設(shè)出直線方程，可以是點斜式（或軸截距式），與橢圓方程聯(lián)立，求出相交弦長，進而得到關(guān)于斜率（或斜率倒數(shù)）的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值，即可求解.

解:（1）由已知，，

將點代入得，

，

橢圓E方程為:．

（2）解法一:由已知，

①當軸或在軸上時，

，，或，，

②當直線斜率存在且不為0時，

，設(shè)直線AC方程為:

聯(lián)立得:

設(shè)，

則，

，由橢圓對稱性，以代換上式中的k得:

，

思路一:

，

當且僅當即時，取“=”

而，有最小值

思路二:設(shè)，則，

當且僅當，，

即時，有最小值．

而，有最小值

解法二:由已知，設(shè)直線AC:

聯(lián)立得:

設(shè)，則，

，由橢圓對稱性，以代換上式中的得:

．

思路一

，

當且僅當即時，取“=”，

有最小值．

思路二:設(shè)則

當且僅當，即時，有最小值．

有最小值．