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3.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2AD=4,BD=23,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:平面PBC⊥平面PBD;
(2)若二面角P-BC-D的大小為\frac{π}{6},求AP與平面PBC所成角的正弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出BC⊥BD,PD⊥BC,從而BC⊥平面PBD,由此能證明平面PBC⊥平面PBD.
(2)由BC⊥平面PBD,得∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=\frac{π}{6},從而BD=2\sqrt{3},PD=2,分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出AP與平面PBC所成角的正弦值.

解答 證明:(1)∵四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,
AB=2AD=4,BD=2\sqrt{3},PD⊥底面ABCD.
∴CD2=BC2+BD2,∴BC⊥BD,
又∵PD⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,∴PD⊥BC,
又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD,
∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD.
解:(2)由(1)所證,BC⊥平面PBD,
∴∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=\frac{π}{6},
∵BD=2\sqrt{3},∴PD=2,∵底面ABCD為平行四邊形,
∴DA⊥DB,
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(2,0,0),B(0,2\sqrt{3},0),C(-2,2\sqrt{3},0),P(0,0,2),
\overrightarrow{AP}=(-2,0,2),\overrightarrow{BC}=(-2,0,0),\overrightarrow{BP}=(0,-2\sqrt{3},2),
設(shè)平面PBC的法向量為\overrightarrow{n}=(a,b,c),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}b+2c=0}\end{array}\right.,令b=1,得\overrightarrow{n}=(0,1,\sqrt{3}),
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•2}=\frac{\sqrt{6}}{4}

點評 本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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