Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$．
（1）求f（x）的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出f（x）的最值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$是單調(diào)增函數(shù)，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，（k∈Z）
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=2sin\frac{π}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=2sin\frac{7π}{6}-\frac{1}{2}$=$-\frac{3}{2}$．
故得當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．