Question

已知向量

m

=（

3

sinx，sinx），

n

=（cosx，sinx），函數f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期，利用正弦函數的單調性即可確定出f（x）單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

及第一問的解析式確定出A的度數，再由a，b+c的值，利用余弦定理求出bc的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，得f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
則f（x）的遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=sin（2A-

π

6

）+

1

2

=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，
∴0＜2A＜2π，即-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵a=2，b+c=3，
∴根據余弦定理得，4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=

5

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

3

×

3

2

=

5 3

12

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，正弦函數的單調性，三角函數的周期性及其求法，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．