Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，設(shè)A（0，b），B（a，0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，且S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線與以F₂為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，若λ∈[2，3]，求△F₂PQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知b（a-c）=$\sqrt{3}$，a=2c，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PQ方程x=ty-1，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得t的取值范圍，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得△F₂PQ面積的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知S${\;}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×b（a-c）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則b（a-c）=$\sqrt{3}$，①
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，②
a²=b²+c²，③
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）以F₂（1，0）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程為y²=4x，
則直線PQ方程x=ty-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理y²-4ty+4=0，
由韋達(dá)定理y₁+y₂=4t，y₁y₂=4，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，則y₁=λy₂，
則（λ+1）y₂=4t，λy₂²=4，
消去y₂得，t²=$\frac{（λ+1）^{2}}{4λ}$=$\frac{1}{4}$（λ+$\frac{1}{λ}$+2），
由λ∈[2，3]，則t²∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]，
則F₂（1，0）到直線PQ方程x=ty-1的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{16{t}^{2}-16}$，
∴△F₂PQ面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨PQ丨=$\sqrt{16{t}^{2}-16}$，
由t²∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{3}$]，則S∈[$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]，
△F₂PQ面積的取值范圍[$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．