Question

10．已知直線l₁：x+a²y+1=0和直線l₂：（a²+1）x-by+3=0．
（1）若b=-12，l₁∥l₂，求a的值；
（2）若l₁⊥l₂，則|a•b|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由l₁∥l₂得：a²（a²+1）+b=0，即a⁴+a²-12=0，解出即可得出．
（2）由l₁⊥l₂得：（a²+1）-a²b=0，（顯然a≠0），可得$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$，利用雙勾函數(shù)或基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由l₁∥l₂得：a²（a²+1）+b=0，即a⁴+a²-12=0，…（2分）
解得：$a=±\sqrt{3}$…（4分）
（2）由l₁⊥l₂得：（a²+1）-a²b=0，（顯然a≠0）…（6分）
∴$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$，…（8分）
$|{a•b}|=|{a•\frac{{{a^2}+1}}{a^2}}|=|{a+\frac{1}{a}}|$…（10分）
由雙勾函數(shù)可得：$|{a+\frac{1}{a}}|≥2$，故|ab|_min=2…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線相互平行垂直與斜率截距之間的關(guān)系、方程的解法、雙勾函數(shù)或基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．