Question

13．設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n為n階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）若等比數(shù)列{a_n}為2k階“期待數(shù)列”（ k∈N^*），求公比q；
（2）若一個等差數(shù)列{a_n}既是2k階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列（ k∈N^*），求該數(shù)列的通項公式；
（3）記n階“期待數(shù)列”{a_i}的前k項和為S_k（k=1，2，3，…，n）．
①求證：|S_k|≤$\frac{1}{2}$；
②若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=$\frac{1}{2}$，試問數(shù)列{S_i}能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對q是否等于1進行討論，令S_2k=0解出q；
（2）由S_2k=0得出下標(biāo)和為2k+1的兩項和為0，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出前k項和為-$\frac{1}{2}$，后k項和為$\frac{1}{2}$，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)將后k項和減去前k項和即可得出公差d與k的關(guān)系，再利用求和公式得出首項a₁；
（3）①根據(jù)條件①②即可得出數(shù)列的所有正項和為$\frac{1}{2}$，所有負項和為-$\frac{1}{2}$，故而-$\frac{1}{2}$≤S_k$≤\frac{1}{2}$；
②由①可知{a_i}的前m項全為非負數(shù)，后面的項全是負數(shù)，于是{S_i}的前m項和為$\frac{1}{2}$，故而得出a_m=$\frac{1}{2}$，于是得出|S₁|+|S₂|+…+|S_n|=S₁+S₂+…+S_n．

解答 解：（1）若q=1，由①得：a₁•2k=0，得a₁=0，不合題意，舍去；
若q≠1，由①得：${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{2k}}=\frac{{{a_1}（1-{q^{2k}}）}}{1-q}=0$，解得q=-1．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差是d（d＞0），
因為${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{2k}}=\frac{{2k（{a_1}+{a_{2k}}）}}{2}=0$，∴a₁+a_2k=a_k+a_k+1=0，
∵d＞0，∴a_k＜0，a_k+1＞0，
則${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_k}=-\frac{1}{2}$，${a_{k+1}}+{a_{k+2}}+{a_{k+3}}+…+{a_{2k}}=\frac{1}{2}$．
兩式相減得：k²d=1，∴$d=\frac{1}{k^2}$，
又a₁+a₂+a₃+…+a_k=${a_1}k+\frac{k（k-1）}{2}d=-\frac{1}{2}$，解得${a_1}=\frac{1-2k}{{2{k^2}}}$，
∴${a_n}={a_1}+（n-1）d=\frac{1-2k}{{2{k^2}}}+（n-1）\frac{1}{k^2}=\frac{2n-2k-1}{{2{k^2}}}$．
（3）①記a₁，a₂，a₃，…，a_n中非負項和為A，負項和為B，
則A+B=0，A-B=1，∴$A=\frac{1}{2}，B=-\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤S_k≤$\frac{1}{2}$，∴$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$．
②若存在m∈{1，2，3，…，n}，使${S_m}=\frac{1}{2}$，
則a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，
且${a_{m+1}}+{a_{m+2}}+{a_{m+3}}+…+{a_{2n}}=-\frac{1}{2}$，
若數(shù)列{S_i}（i=1，2，3，…，n）是n階“期待數(shù)列”，
記{S_i}（i=1，2，3，…，n）的前k項和為T_k，由①得$|{T_k}|≤\frac{1}{2}$，
∴${T_m}={S_1}+{S_2}+…+{S_m}≤\frac{1}{2}$，
∵${S_m}=\frac{1}{2}$，∴S₁+S₂+…+S_m-1=0，
∵a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，
∴S₁=S₂=…=S_m-1=0，∴a₁=a₂=…=a_m-1=0，${a_m}=\frac{1}{2}$，
又a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，${a_{m+1}}+{a_{m+2}}+…+{a_{2n}}=-\frac{1}{2}$，
∴S_m+1≥0，S_m+2≥0，…，S_n≥0，
∴|S₁|+|S₂|+…+|S_n|=S₁+S₂+…+S_n．
∴S₁+S₂+…+S_n=0與|S₁|+|S₂|+…+|S_n|=1不能同時成立，
即數(shù)列{S_i}（i=1，2，3，…，n）不能為n階“期待數(shù)列”．

點評 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列前n項和的定義，對新定義的理解，屬于難題．