(2008•奉賢區(qū)二模)如圖:中心為原點的雙曲線的一條漸近線為y=x,焦點A、B在x軸上,焦距|AB|為2
2

(1)求此雙曲線方程;
(2)過P(2,0)的直線L交雙曲線于點M、N,Q(
1
2
,0)
.求證:對于任意直線L,數(shù)量積
QM
QN
是定值,并求出該定值.
(3)在(2)的條件下,求|QM|2+|QN|2-|MN|2的值.
分析:(1)由漸進線為y=±x,知雙曲線是等軸雙曲線x2-y2=a2,離心率e=
2
.由此能求出其方程.
(2)設MN的方程為x=my+2,代入x2-y2=1,得(m2-1)y2+4my+3=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-
4m
m2-1
,y1y2=
3
m2-1

QM
QN
=x1x2-b(x1+x2)+b2+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(2-b)(y1+y2)+4-4b+b2為定值,由此得到證明.
(3)|QM|2+|QN|2-|MN|2=(x1-1)2+(y12+(x2-1)2+(y22-(x1-x22-(y1-y22=2m(y1+y2)=
8m2
1-m2
,由此能求出|QM|2+|QN|2-|MN|2的值.
解答:解:(1)∵漸進線為y=±x,∴是等軸雙曲線x2-y2=a2,離心率e=
2

又2c=2
2
,∴c2=2a2,a=1,方程為x2-y2=1.
(2)設MN的方程為x=my+2,代入x2-y2=1,得(m2-1)y2+4my+3=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-
4m
m2-1
,y1y2=
3
m2-1

QM
QN
=x1x2-b(x1+x2)+b2+y1y2

=(m2+1)y1y2+m(2-b)(y1+y2)+4-4b+b2為定值,可得(b2-1)m2-
1
m2-1
(b2-4b+1)=C(定值)…(*)
∴(b2-1-C)m2-(b2-4b+1-C)=0而與m的取值無關,
∴b2-1-C=b2-4b+1-C=0,∴C=-
3
4
,b=
1
2

(3)|QM|2+|QN|2-|MN|2=(x1-1)2+(y12+(x2-1)2+(y22-(x1-x22-(y1-y22=2m(y1+y2)=
8m2
1-m2
,
由(2)知 C=-
3
4
,b=
1
2
,代入(*)式,得m2=2,
∴|QM|2+|QN|2-|MN|2=
8m2
1-m2
=-16.
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識,解題時要注意合理地進行等價轉化.
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