【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB60°.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F

(1)求證:ABEF;

(2)若PAPDAD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

1)先證明平面即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面、平面的法向量,再由向量的夾角公式計(jì)算即可.

證明:(1)因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形,所以ABCD

又因?yàn)?/span>ABPCDCDPCD,所以AB∥面PCD

又因?yàn)?/span>A,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF平面PCDEF

所以ABEF

解:(2)取AD中點(diǎn)G,連接PG,GB

因?yàn)?/span>PAPD,所以PGAD

又因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD

且平面PAD平面ABCDAD,

所以PG⊥平面ABCD.所以PGGB

在菱形ABCD中,因?yàn)?/span>ABAD,∠DAB60°,GAD中點(diǎn),

所以ADGB

如圖,以G為原點(diǎn),GAx軸,GBy軸,GPz軸,建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz

設(shè)PAPDAD2a,

G00,0),Aa0,0),

又因?yàn)?/span>ABEF,點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn),所以點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn).

所以,

所以

設(shè)平面AFE的法向量為n=(x,y,z),則有所以

x3,則平面AFE的一個(gè)法向量為

因?yàn)?/span>BG⊥平面PAD,所以是平面PAF的一個(gè)法向量.

因?yàn)?/span>

所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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; ;

; ; .

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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A. B.

C. D.

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表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位,百位,萬(wàn)位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬(wàn)位用橫式表示,以此類推例如6613用算籌表示就是 ,則26337用算籌可表示為( )

A. B.

C. D.

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A.12B.24C.36D.48

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520以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

6

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