Question

8．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)P（2，0），A，B是橢圓T上關(guān)于x軸對稱的兩個不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓T于另一點(diǎn)E，求證直線AE恒過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)B（x₀，y₀），則A（x₀，-y₀）．直線PB的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），與橢圓T的方程聯(lián)立可得：（3-2x₀）x²-$4{y}_{0}^{2}$x-3${x}_{0}^{2}$+4x₀=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₀x_E=$\frac{-3{x}_{0}^{2}+4{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，可得x_E，代入直線方程可得：y_E．于是k_AE．得出直線AE的方程即可證明．

解答 （1）解：由橢圓可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
聯(lián)立解得a²=2，b²=1，c=1．
∴橢圓T的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）證明：設(shè)B（x₀，y₀），則A（x₀，-y₀）．
直線PB的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），與橢圓T的方程聯(lián)立可得：（3-2x₀）x²-$4{y}_{0}^{2}$x-3${x}_{0}^{2}$+4x₀=0．
∴x₀x_E=$\frac{-3{x}_{0}^{2}+4{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，可得x_E=$\frac{3{x}_{0}-4}{2{x}_{0}-3}$，代入直線方程可得：y_E=$\frac{-{y}_{0}}{2{x}_{0}-3}$．
∴k_AE=$\frac{\frac{-{y}_{0}}{2{x}_{0}-3}-（-{y}_{0}）}{\frac{3{x}_{0}-4}{2{x}_{0}-3}-{x}_{0}}$=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$．
∴直線AE的方程為：y+y₀=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$（x-x₀）．
整理為：y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}（x-1）$．
可得直線AE經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．