已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,一條漸近線的方程是。
(1)求雙曲線的方程;
(2)若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍。

(1);(2)的取值范圍是

解析試題分析:(1)本題較易,注意利用已知條件建立方程組解得,
即得所求.
(2)從確定三角形的面積表達(dá)式入手,建立的不等式
.通過設(shè)直線的方程為,建立方程組并整理,建立的不等關(guān)系;
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足,
得到線段的垂直平分線的方程為,
求得此直線與軸,軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,
從而利用,整理得,
將上式代入的不等關(guān)系式,得到的不等式.
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,
由題設(shè)得解得
所以雙曲線方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,整理得,此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,
于是,
整理得......③
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足,,
從而線段的垂直平分線的方程為,
此直線與軸,軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,
由題設(shè)可得,整理得,
將上式代入③式得,
整理得,,解得,
所以的取值范圍是
考點(diǎn):雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,三角形面積公式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且與橢圓C交于兩點(diǎn),若,求直線的方程.

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已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)又本與橢圓相交于、兩點(diǎn). ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;②若點(diǎn),求證:為定值.

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如圖示:已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線交拋物線、兩點(diǎn),經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、,切線相交于點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)在第二象限,且到準(zhǔn)線距離為時(shí),求;
(2)證明:.

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設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、,下頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)),如圖.若拋物線軸的交點(diǎn)為,且經(jīng)過兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓、兩點(diǎn),求面積的最大值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓和圓.
(1)若直線過點(diǎn),且被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設(shè)為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線,它們分別與圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)雙曲線以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線的一條漸近線是
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)在軸上,若右焦點(diǎn)到直線的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng)時(shí),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和上下兩個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)邊長為2且∠F1B1F2的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2 ,斜率為)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線、分別交直線于點(diǎn)、,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為.求證:為定值.

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