Question

18．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，a₁=1，b₁=8，a₂+b₂=18，a₃+b₃=35，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{_{n}{S}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}為公差d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為公比q的等比數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d=1，q=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求出c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{_{n}{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}•n（n+1）}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}為公差d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為公比q的等比數(shù)列，
由a₁=1，b₁=8，a₂+b₂=18，a₃+b₃=35，
可得1+d+8q=18，1+2d+8q²=35，
解得d=1，q=2，
則a_n=1+n-1=n，b_n=8•2n-1=2ⁿ⁺²（n∈N*）；
（2）c_n=$\frac{{a}_{n+2}}{_{n}{S}_{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+2}•\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}•n（n+1）}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
則前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}$-$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．