Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x（lnx+x^-1）．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）試比較f（x）與1的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）由f（1）=e＞1，可猜想f（x）＞1．理由如下：f（x）＞1即為e^x（lnx+x^-1）＞1，即為xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，令g（x）=xlnx+1，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，分別求出g（x）和h（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（lnx+x^-1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（lnx+$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
可得f（x）在x=1處的切線的斜率為e，切點為（1，e），
可得切線方程為y-e=e（x-1），即為y=ex；
（2）由f（1）=e＞1，可猜想f（x）＞1．
理由如下：f（x）＞1即為e^x（lnx+x^-1）＞1，即為xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=xlnx+1，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=1+lnx，g（x）在x＞$\frac{1}{e}$處導(dǎo)數(shù)大于0，g（x）遞增；在0＜x＜$\frac{1}{e}$處導(dǎo)數(shù)小于0，g（x）遞減．
g（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值1-$\frac{1}{e}$；
h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，h（x）在x＜1處導(dǎo)數(shù)大于0，h（x）遞增；在x＞1處導(dǎo)數(shù)小于0，h（x）遞減．
h（x）在x=1處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$．
則g（x）_min＞h（x）_max，
即有g(shù)（x）＞f（x）恒成立，即f（x）＞1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查等價轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．