Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$．
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及二次根式的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的值域的范圍，得到關(guān)于a的方程，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，
由2^x＞0，則$\frac{a}{{2}^{x}}$＞0，則a＞0，
則f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$≥$\sqrt{2\sqrt{a}-2}$≥0，
解得：a≥1，
故a的范圍是[1，+∞）；
（2）若f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
則f（x）=$\sqrt{{2}^{x}+\frac{a}{{2}^{x}}-2}$≥$\sqrt{2\sqrt{a}-2}$≥0，
由2$\sqrt{a}$-2=0，解得：a=1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的定義域、值域問題，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．