Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，且a₁=1，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{2}_{\;}}$，則數(shù)列{b_n•b_n+1}的前50項(xiàng)和為$\frac{50}{201}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$，化為：$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1+2=$\frac{3{a}_{n}+4}{2{a}_{n}+3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$，化為：$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2n-$\frac{3}{2}$，∴b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=$\frac{1}{4n-3}$，
則b_n•b_n+1=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，
∴${b_1}•{b_2}+…+{b_{50}}•{b_{51}}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{201}}）=\frac{50}{201}$．
故答案為：$\frac{50}{201}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．