Question

若函數(shù)f（x）=在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）若a=1，求征：＜（ n∈N*且n≥2 ）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以在[1，+∞）上導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，就可根據(jù)x的范圍求出a的范圍．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以n≥2時(shí)：f（）＞f（1），因?yàn)閒（1）=0，所以，n≥2時(shí)：f（）＞0，就可得到，進(jìn)而證明成立，再利用導(dǎo)數(shù)判斷y=lnx-x在[1，+∞）上為減函數(shù)，就可得到n≥2時(shí)，ln＜=1+（n≥2），
進(jìn)而證明．
解答：解：（Ⅰ）由已知：f'（x）=
依題意得：≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：f（）=
即：
∴
設(shè)g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），
則對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）為減函數(shù)，∵＞1
∴n≥2時(shí)：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0
即：ln＜=1+（n≥2）
∴l(xiāng)nn=
綜上所證：（n∈N*且≥2）成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．