Question

12．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均相等，D為AA₁的中點，M，N分別是線段BB₁和線段CC₁上的動點（含端點），且滿足BM=C₁N，當M，N運動時，下列結(jié)論中正確的序號為②③④．
①△DMN可能是直角三角形；②三棱錐A₁-DMN的體積為定值；③平面DMN⊥平面BCC₁B₁；④平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 ①，利用反證法思想說明△DMN不可能為直角三角形；
②，由△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，得到三棱錐A₁-DMN的體積為定值；
③，由BM=C₁N，得線段MN必過正方形BCC₁B₁的中心O，由DO⊥平面BCC₁B₁，可得平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
④，平面DMN與平面ABC平行時所成角為0，當M與B重合，N與C₁重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大．

解答 解：如圖，
對于①，若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC₁，而此時DM，DN的長大于BB₁，∴△DMN不可能為直角三角形，故錯誤；
對于②，當M、N分別在BB₁、CC₁上運動時，△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，∴棱錐N-A₁DM的體積不變，即三棱錐A₁-DMN的體積為定值，故正確；
對于③，當M、N分別在BB₁、CC₁上運動時，若滿足BM=C₁N，則線段MN必過正方形BCC₁B₁的中心O，而DO⊥平面BCC₁B₁，∴平面DMN⊥平面BCC₁B₁，故正確；
 對于④，當M、N分別為BB₁，CC₁中點時，平面DMN與平面ABC所成的角為0，當M與B重合，N與C₁重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為∠C₁BC，等于$\frac{π}{4}$．∴平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，$\frac{π}{4}$]，故正確，
∴正確的是②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．