Question

已知函數(shù)，

( I )  若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍;

( II ) 若函數(shù)的圖像在x=1處的切線斜率為0，且

         ，（，）

        證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)時(shí)，有.

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域是　　　　　　　　　

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/02/23/20/2014022320232318805692.files/image146.gif'>所以有所以　　　(１分)

　　　　　(２分)

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;　　　　 (３分)

當(dāng)時(shí)，

若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則有恒成立即

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/02/23/20/2014022320232318805692.files/image227.gif'>所以  且時(shí)不恒為0.　　 (４分)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則有恒成立即

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/02/23/20/2014022320232318805692.files/image227.gif'>所以  

綜上，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)時(shí)的取值范圍是　　　　(５分)

（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在x=1處的切線斜率為0，所以

即所以

所以　　　　　(６分)

令　　　　　說(shuō)明　此處可有多種構(gòu)造函數(shù)的方法，通

所以　　　(７分)　　　　　　　常均需要討論ｎ是奇數(shù)還是偶數(shù)

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/02/23/20/2014022320232318805692.files/image148.gif'>所以　　　　　　　可參照答案所示　每種情況酌情賦２－３分

所以

所以即函數(shù)在單調(diào)遞減

所以，即　　　　(９分)

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，令則

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以　(１０分)

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/02/23/20/2014022320232318805692.files/image148.gif'>時(shí)所以

所以即函數(shù)在單調(diào)遞減　　(１１分)

所以，即

綜上，對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)時(shí)，有.(１２分)