Question

6．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且在[1，+∞）為增函數(shù)，對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實數(shù)a，b滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（^{2}-8b）≤0}\\{f（b+1）＞f（5）}\end{array}\right.$，那么a²+b²的取值范圍是（17，49]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件f（1-x）+f（1+x）=0得到函數(shù)函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，結(jié)合函數(shù)的對稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，進行求解即可．

解答 解：∵對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1+x）=-f（1-x），
則函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，且-f（x）=f（2-x）
∵f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0，
∴f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
∵f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，且函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
整理為（a-3）²+（b-4）²≤4，
由f（b+1）＞f（5）得b+1＞5，即b＞4，
∵（a-3）²+（b-4）²=4的圓心坐標(biāo)為：（3，4），半徑為2，

∴（a-3）²+（b-4）²=4（b＞4）內(nèi)的點到原點距離的取值范圍為
（$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$，$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$+2]，即（$\sqrt{17}$，7]，
∵a²+b² 表示（a-3）²+（b-4）²=4內(nèi)的點到原點距離的平方，
∴a²+b² 的取值范圍是（17，49]．
故答案為：（17，49]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查不等式的含義，解題的關(guān)鍵是確定半圓內(nèi)的點到原點距離的取值范圍，利用條件判斷函數(shù)的對稱性以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．．