【題目】已知動點與點的距離和它到直線:的距離的比是.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知定點,若,是軌跡上兩個不同動點,直線,的斜率分別為,,且,試判斷直線的斜率是否為定值,并說明理由.
【答案】(1);(2)斜率為定值,該值為1.
【解析】
(1)由動點與點的距離和它到直線:的距離的比是,可得方程,化簡可得的軌跡的方程;
(2)設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,可得所以直線的方程為,直線的方程為. 設(shè)點,,由,因為點在橢圓上,可得的值,的值,可得直線的斜率為定值.
解:(1)設(shè)是點到直線:的距離,依題意可得,
點的軌跡就是集合:,
由此得,
將上式兩邊平方,并化簡得,
即點的軌跡方程是.
(2)因為,
設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為.
所以直線的方程為,
直線的方程為.
設(shè)點,,由,
得 (1)
因為點在橢圓上,所以是方程(1)的一個根,
則,所以.
同理,所以,.
又,
所以直線的斜率,
所以直線的斜率為定值,該值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個纜車示意圖,該纜車的半徑為4.8 m,圓上最低點與地面的距離為0.8 m,纜車每60 s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面的距離為h m.
(1)求h與θ之間的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過t s達到OB,求h與t之間的函數(shù)解析式,并計算經(jīng)過45 s后纜車距離地面的高度.
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【題目】半期考試后,班長小王統(tǒng)計了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績,繪制頻率分布直方圖如圖所示.
根據(jù)頻率分布直方圖,估計這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績;
用分層抽樣的方法從成績低于115的同學(xué)中抽取6名,再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名,求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中的概率.
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【題目】已知點是橢圓上任一點,點到直線的距離為,到點的距離為,且.直線與橢圓交于不同兩點(都在軸上方),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點時,求直線方程;
(3)對于動直線,是否存在一個定點,無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點?若存在,求出該定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】閱讀如圖所示的程序框圖,解答下列問題:
(1)求輸入的的值分別為時,輸出的的值;
(2)根據(jù)程序框圖,寫出函數(shù)()的解析式;并求當(dāng)關(guān)于的方程有三個互不相等的實數(shù)解時,實數(shù)的取值范圍.
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【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個矩形(B,C全等),用來制成一個柱體.現(xiàn)有兩種方案:
方案①:以為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面;
方案②:以為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與或垂直)作為正四棱柱的兩個底面.
(1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面,求底面半徑;
(2)設(shè)的長為dm,則當(dāng)為多少時,能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,PA垂直于所在的平面,C是圓周上不同于A,B的一動點.
(1)證明:是直角三角形;
(2)若,且當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時,求直線與平面所成角的正弦值.
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