Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁、F₂，點P為橢圓上動點，弦PA、PB分別過點F₁、F₂，設(shè)向量

PF1

=λ₁

F1A

，

PF2

=λ₂

F2B

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件推導(dǎo)出|F₁A|=

|PF1|

λ1

，|F₂B|=

|PF2|

λ2

，對于橢圓，設(shè)CG為左準線，PC、F₁E、AG分別于CG垂直，由此推導(dǎo)出λ₁=

2|PF1|

a-ec

-1，λ₂=

2|PF2|

a-ec

-1，由此能夠證明λ₁+λ₂為定值．

解答： 證明：∵

PF1

與

F1A

同向，

PF2

與

F2B

同向，

PF1

=λ₁

F1A

，

PF2

=λ₂

F2B

，
∴λ₁=

PF1

F1A

＞0，λ2 =

PF2

F2B

＞0，
∴|F₁A|=

|PF1|

λ1

，|F₂B|=

|PF2|

λ2

，
如圖，對于橢圓，設(shè)CG為左準線，PC、F₁E、AG分別于CG垂直，
e=

c

a

=

|PF1|

|PC|

=

|F1A|

|AG|

，
∴|PC|=

|PF1|

e

，|AG|=

|F1A|

e

，
又|EF₁|=

a2

c

-c=

a

e

-c為定值，
對梯形PCGA用相似三角形關(guān)系，有如下關(guān)系：
λ1 =

|PF1 |

|F1A|

=

|PC|-|EF1|

|EF1 |-|AG|

=

|PF1| e -( a2 c -c)

( a2 c -c)- |F1A| e

=

|PF1| e -( a e -c)

( a e -c)- |PF1| eλ1

，
整理得(

a

e

-c)λ1=

2|PF1|

e

-(

a

c

-c)，
∴λ₁=

2|PF1|

a-ec

-1，①
同理，對梯形PDHB有λ₂=

2|PF2|

a-ec

-1，②
①+②，得：λ₁+λ₂=

2(|PF1|+|PF2|)

a-ec

-2，
對于橢圓上點P，由定義有|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴λ₁+λ₂=

2•2a

a-ec

-2=

2(a+ec)

a-ec

=

2(1+e2)

1-e2

為定值．

點評：本題考查兩數(shù)和為定值的證明，計算量大，比較繁瑣，要求熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)，解題時要認真審題，細心運算，避免出現(xiàn)計算上的低級錯誤．