Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的面積的最大值為4$\sqrt{3}$，則此時(shí)△ABC的形狀為（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 正三角形
• C． 直角三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 由$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，結(jié)合sinC＞0，化簡(jiǎn)可得sinC，由a+b=8，利用基本不等式可得ab≤16，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4成立），由△ABC的面積的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤4$\sqrt{3}$，即可解得a=b=4，從而得解△ABC的形狀為等腰三角形．

解答 解：∵$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，
∴$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，
∴$\sqrt{3}$sinC=2sin²C，且sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a+b=8，可得：8≥2$\sqrt{ab}$，解得：ab≤16，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4成立）
∵△ABC的面積的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴a=b=4，
則此時(shí)△ABC的形狀為等腰三角形．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．