【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升,對該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測試,測試項(xiàng)目共5項(xiàng).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測試結(jié)果,將它們編號(hào)后得到它們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表1)所示(“√”表示測試合格,“×”表示測試不合格).
表1:
編號(hào)\測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規(guī)定:每項(xiàng)測試合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的這10名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的頻率代替每名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的概率.
①設(shè)抽取的這10名職工中,每名職工測試合格的項(xiàng)數(shù)為,根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表,列出的分布列,并估計(jì)這120名職工的平均得分;
②假設(shè)各名職工的各項(xiàng)測試結(jié)果相互獨(dú)立,某科室有5名職工,求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在測試中,測試難度的計(jì)算公式為,其中為第項(xiàng)測試難度,為第項(xiàng)合格的人數(shù),為參加測試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項(xiàng)測試合格人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度如下表(表2):
表2:
測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測合格人數(shù) | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第項(xiàng)的實(shí)測難度,為第項(xiàng)的預(yù)測難度().規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)測合理,否則為不合理,測試前,預(yù)估了每個(gè)預(yù)測項(xiàng)目的難度,如下表(表3)所示:
表3:
測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預(yù)測前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
【答案】(1)①分布列見解析,平均得分為;②;(2)合理.
【解析】
(1)①可取,由表格中數(shù)據(jù),利用古典概型概率公式求出各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率,從而可得分布列,進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望,由的值可得平均分;②由①知,由互斥事件的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式可得結(jié)果;(2)直接利用方差公式求出方差,與比較大小即可得結(jié)果.
(1)①根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表,得的分布列為:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0 | 0.1 | 0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
所以的數(shù)學(xué)期望.
所以估計(jì)這12名職工的平均得分為.
②“得分不小于20分”即“”,
由①知.
設(shè)該科室5名職工中得分不小于20分的人數(shù)為,則.
所以,
即這5名職工中至少有4人得分不小于20分的概率為.
(2)由題意知
該次測試的難度預(yù)估是合理的.
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