Question

16．設(shè)f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（a）＞1的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≤2a（a∈R），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（a）＞1，即|2a|-|a+1|＞1，分類討論，即可求不等式f（a）＞1的解集；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a-1|．令|a-1|≤2a，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（a）＞1，即|2a|-|a+1|＞1，
a≤-1，不等式化為-2a+a+1＞1，即a＜0，∴a≤-1；
-1＜a≤0，不等式化為-2a-（a+1）＞1，即a＜-$\frac{2}{3}$，∴-1＜a＜-$\frac{2}{3}$；
a＞0，不等式化為2a-（a+1）＞1，即a＞2，∴a＞2，
故不等式的解集為{a|a＜-$\frac{2}{3}$或a＞2}；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a-1|．
令|a-1|≤2a，
顯然a＞0，兩邊平方得a²-2a+1≤4a²，即3a²+2a-1≥0，
∴a≥$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查絕對(duì)值不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．