Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，則a+b的值為3．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分別檢驗(yàn)a，b，由極大值的定義，即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
由在x=1處取得極大值10，可得
f（1）=10，且f′（1）=0，
即為1+a+b-a²-7a=10，3+2a+b=0，
將b=-3-2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，
解得a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
可得f（x）在x=1處取得極小值10；
當(dāng)a=-6，b=9時(shí)，f′（x）=3x²-12x+9=（x-1）（3x-9），
可得f（x）在x=1處取得極大值10．
綜上可得，a=-6，b=9滿足題意．
則a+b=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，注意運(yùn)用極值的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，注意檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．