Question

20．已知函數(shù)f（x）=|ax-1|-（a-1）x
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，滿足不等式f（x）＞1的x的取值范圍為（2，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）化為分段函數(shù)，再解不等式即可，
（2）①）當(dāng)a≥1②當(dāng)0＜a＜1③當(dāng)a≤0三種情況，畫出f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象，利用圖象確定有無交點(diǎn)．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|$\frac{1}{2}$x-1|+$\frac{1}{2}$x=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥2}\\{1，x＜2}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞1}\\{x≥2}\end{array}\right.$，
解得x＞2，
故x的取值范圍為（2，+∞），
（2）函數(shù)f（x）的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，
 ①當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點(diǎn)，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

要使兩個(gè)圖象無交點(diǎn)，斜率滿足：a-1≥-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{2}$≤≤a＜1
③當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=|ax-1|與g（x）=（a-1）x的圖象：

兩函數(shù)的圖象恒有交點(diǎn)，
綜上①②③知：$\frac{1}{2}$≤a＜1
故答案為：（2，+∞），[$\frac{1}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，如果函數(shù)的圖象能畫出，結(jié)合圖象解題形象而直觀，屬于中檔題．