Question

12．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）當a＜0時，求f（x）的極值；
（3）求證：ln（n+1）＞$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求出切線的斜率，切點，進而運用點斜式方程，求出切線方程；
（2）求出導數(shù)，對a討論，分a≥0，a＜0，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域，進而得到極小值；
（3）令a=-1，得到f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，令x=$\frac{1}{n}$，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，由于$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，證得ln（1+$\frac{1}{n+1}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，運用累加法和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$的導數(shù)為：
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
則函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率為1+a=2，切點為（0，0），
即有函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=2x；
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x+1+a}{{（x+1）}^{2}}$，
當a＜0時，由f′（x）＞0，解得，x＞-1-a；由f′（x）＜0，解得，-1＜x＜-1-a．
故a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1-a，+∞），減區(qū)間為（-1，-1-a），
f（x）在x=-1-a取得極小值，且為ln（-a）+1+a．
（3）證明：當a=-1時，由（2）可得，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
則f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，
即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，
令x=$\frac{1}{n}$，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，
由于 $\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有 $\frac{1}{n+1}$＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
則ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{1}$）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{3}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n}$）
＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即為ln（$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$••$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
則有l(wèi)n（n+1）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查運用函數(shù)的最值證明不等式的方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題和易錯題．