Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$，若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（　　）

• A． （2π，2017π）
• B． （2π，2018π）
• C． （$\frac{3π}{2}$，$\frac{4035π}{2}$）
• D． （π，2017π）

Answer 1

分析 作出y=f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得a+b=π，求出c的范圍即可得出答案．

解答 解：當x∈[0，π]時，f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，
∴f（x）在[0，π]上關于x=$\frac{π}{2}$對稱，且f_max（x）=1，
又當x∈（π，+∞）時，f（x）=log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$是增函數(shù)，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$=1得x=2017π，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=π，c∈（π，2017π），
∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．