Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意正整數(shù)n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$成立．
（1）記b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=2n+1，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和和放縮法即可得到答案．

解答 解：（1）在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中令n=1得a₁=8，
因?yàn)閷θ我庹�整�?shù)n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$成立，所以a_n+1=$\frac{3}{4}$S_n+1+2，
兩式相減得a_n+1-a_n=$\frac{3}{4}$a_n+1，
所以a_n+1=4a_n，
又a₁≠0，
所以數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
所以a_n=8•4^n-1=2²ⁿ⁺¹，
所以b_n=log₂a_n=2n+1，
（2）${c_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{{3（{2n+3}）}}$＜$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和以及放縮法，屬于中檔題．