Question

6．設θ是兩個非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角，若對任意實數(shù)t，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值為1，則下列判斷正確的是（　　）

• A． 若|$\overrightarrow{a}$|確定，則θ唯一確定
• B． 若|$\overrightarrow$|確定，則θ唯一確定
• C． 若θ確定，則|$\overrightarrow$|唯一確定
• D． 若θ確定，則|$\overrightarrow{a}$|唯一確定

Answer 1

分析 令g（t）=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}$=${\overrightarrow}^{2}{t}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow{a}}^{2}$，可得△≤0，恒成立．當且僅當t=-$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2{\overrightarrow}^{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$時，g（t）取得最小值1，代入即可得出．

解答 解：令g（t）=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}$=${\overrightarrow}^{2}{t}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴△=4$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}$-4${\overrightarrow}^{2}×{\overrightarrow{a}}^{2}$≤0，恒成立．
當且僅當t=-$\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2{\overrightarrow}^{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$時，g（t）取得最小值1，
∴${\overrightarrow}^{2}×\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}co{s}^{2}θ}{|\overrightarrow{|}^{2}}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$×$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，
化為：${\overrightarrow{a}}^{2}$sin²θ=1．
∴θ確定，則|$\overrightarrow{a}$|唯一確定．
故選：D．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．