Question

13．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構(gòu)造數(shù)列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$．①
第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以n，得到數(shù)列（記為）a₁，a₂，a₃，…，a_n．則a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=（　�。�

• A． n²
• B． （n-1）²
• C． n（n-1）
• D． n（n+1）

Answer 1

分析 a_k=$\frac{n}{k}$．n≥2時(shí)，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²$（\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_k=$\frac{n}{k}$．
n≥2時(shí)，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²$（\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}）$．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n²$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$
=${n}^{2}（1-\frac{1}{n}）$=n（n-1）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．