Question

6．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$．
（Ⅰ）求a+4b 的最小值；
（Ⅱ）求證：$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥\frac{4ab}{a+b}$．

Answer 1

分析 （I）將式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}$），展開后利用基本不等式即可得出最小值；
（II）化簡$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$得出右側式子為常數4，將左側式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）展開后利用基本不等式得出最小值為4，從而得出結論．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
∴a+4b=（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=9
當且僅當$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$即a=2b時取等號，
結合$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$可得a=3且b=$\frac{3}{2}$，
故a+4b 的最小值為9；
（2）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=1，∴$\frac{4ab}{a+b}$=4．
∴$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$=（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）+（$\frac{a}+\frac{a}$）≥2+2=4．
當且僅當$\frac{a}=\frac{a}$即a=b=2時取等號．
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥\frac{4ab}{a+b}$．

點評 本題考查了基本不等式，不等式的證明，對式子進行乘1化簡是關鍵．