Question

1．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的極坐標方程是ρcos²θ=4sinθ．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，點M為AB的中點，點P的極坐標為$（4\sqrt{3}，\frac{π}{3}）$，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數t得直線l的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化方法求曲線C的直角坐標方程；
（2）求出M，P的直角坐標，即可求|PM|的值．

解答 解：（1）已知直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），普通方程為y=$\sqrt{3}x$+3，
曲線C的極坐標方程是ρcos²θ=4sinθ，化為ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴x²=4y．…（5分）
（2）由直線與拋物線方程，消去y得x²-4$\sqrt{3}$x-12=0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點M（2$\sqrt{3}$，9）…（8分）
又點P的直角坐標為（2$\sqrt{3}$，6），…（9分）
所以|PM|=3…（10分）

點評 本題考查了直角坐標方程化為參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．