Question

設(shè)有半徑為3 km的圓形村落,A、B兩人同時從村落中心出發(fā),A向東而B向北前進,A出村后不久,改變前進方向,斜著沿切于村落周界的方向前進,后來恰好與B相遇,設(shè)A、B兩人的速度都一定,其比為3∶1,問A、B兩人在何處相遇？

Answer 1

活動：學生閱讀題目,理解題意,這是一個應(yīng)用題,應(yīng)首先建立適當?shù)淖鴺讼?結(jié)合幾何知識解題.由于是圓形村落,A、B兩人同時從村落中心出發(fā),于是可以以村落中心為原點,以開始時A、B兩人的前進方向為x、y軸,建立坐標系,這就為建立解析幾何模型創(chuàng)造了條件,然后再準確設(shè)元,列出方程.

解:以開始時A、B兩人的前進方向為x、y軸,建立坐標系,由題意可設(shè)A、B兩人的速度分別為3v km/h,v km/h,再設(shè)A出發(fā)x₀ h后在點P處改變前進方向,又經(jīng)y₀ h在點Q處與B相遇,則P、Q兩點的坐標為(3vx₀,0),(0,v(x₀+y₀)),如圖3所示.

圖3

由于A從點P到Q行走的時間是y₀ h,于是由勾股定理有|OP|²+|OQ|²=|PQ|²,有(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)².化簡整理得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0.

又x₀+y₀＞0,所以5x₀=4y₀.①

于是k_PQ==.②

把①代入②得k_PQ=.由于切線PQ與y軸的交點Q對應(yīng)的縱坐標v(x₀+y₀)的值就是問題的答案,于是轉(zhuǎn)化為“當直線y=x+b與圓相切時,求縱截距b的值”.利用圓心到切線的距離等于圓的半徑,得=3,解得b=(b＞0).因此A、B兩人相遇的位置是離村落中心正北3 km處.