Question

15．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也經(jīng)過點(diǎn)A，則3m+n的最小值為（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的圖象恒過定點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解3m+n的最小值．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1），
令x+4=1，可得x=-3，帶入可得y=-1
∴圖象恒過定點(diǎn)A（-3，-1）．
∵直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也經(jīng)過點(diǎn)A，
∴$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}=2$，即$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}=1$．
那么：3m+n=（3m+n）（$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}$）=$\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3n}{2m}+\frac{3m}{2n}$
≥2$\sqrt{\frac{3n}{2m}×\frac{3m}{2n}}$+5=8．（當(dāng)且僅當(dāng)n=m=2時，取等號）
∴3m+n的最小值為8．
故選B．

點(diǎn)評 本題考了對數(shù)函數(shù)的恒過定點(diǎn)的求法和基本不等式的運(yùn)用．屬于中檔題．