Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，其中a＞0．曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）確定b，c的值；
（2）若過點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），再求f（0），由題意知f（0）=1，f'（0）=0，從而求出b，c的值；
（2）首先設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，寫出切線方程，代入點(diǎn)（0，2），得到關(guān)于x₀的三次方程，且該方程有三個(gè)不同的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出極大值，令其值小于0，解出a的取值范圍，注意a＞0．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，所以導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²-ax+b，
又因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1，
所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．
（2）由（1）知f（x）=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f'（x）=x²-ax，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則y₀=f（x₀）=

1

3

x03-

a

2

x02+1，
切線的斜率為k=f'（x₀）=x02-ax0
所以切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
因?yàn)榍芯�經(jīng)過點(diǎn)（0，2），所以2-y₀=-kx₀，
即2-（

1

3

x03-

a

2

x02+1）=-(x02-ax0)x0
化簡得：4x03-3ax02+6=0①，
因?yàn)檫^點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，
所以①有三個(gè)不同的實(shí)根．
即函數(shù)g（x）=4x³-3ax²+6有三個(gè)不同的零點(diǎn)．
導(dǎo)數(shù)g'（x）=12x²-6ax=0得x=0，或x=

a

2

（a＞0）
可知只要極小值g（

a

2

）＜0即4×

a3

8

-3a•

a2

4

+6＜0，
所以a＞2

3	3

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2

3	3

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用：求極值，解題中必須注意過某點(diǎn)的切線與在某點(diǎn)處的切線的區(qū)別，本題就是一個(gè)很好的例子，同時(shí)考查了字母的運(yùn)算能力，是一道中檔題．