Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1），若存在x₁、x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e-1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（-1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范圍．

解答： 解：∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
∵f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna），
記g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0 ），∵g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=(

1

t

-1)2≥0，（當(dāng)t=1時(shí)取等號），
∴g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞0；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）＜0．
也就是當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）＞f（-1）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（1）＜f（-1）；
①當(dāng)a＞1時(shí)，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（-1）-f（0）≥e-1，可得

1

a

+lna≥e-1，

1

e

≥a＞0
綜上知，所求a的取值范圍為 （0，

1

e

]∪[e，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，屬于中檔題．