Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，VA=

3

AC，點E為VC的中點．
（Ⅰ）求證：平面VBA⊥平面VBC；
（Ⅱ）求直線BE與平面ABC所成的角．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由題意知VA⊥AB，VA⊥AC，可得VA⊥平面ABC，可證VA⊥BC；又∠ABC=90°可得AB⊥BC，這樣可證得BC⊥平面VBA，從而可證面面垂直；
（Ⅱ）由E點為VC的中點，可想過E作VA的平行線EF，由VA⊥AC可知EF⊥AC，從而找到BE在面ABC內(nèi)的射影，得到線面角，通過解直角三角形求解角．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠VAB=∠VAC=90°，∴VA⊥AB，VA⊥AC，又AB∩AC=A，
∴VA⊥平面ABC．∴VA⊥BC．
∠ABC=90°，∴AB⊥BC，VA∩VB=V，
∴BC⊥平面VBA．又BC?平面VBC，
∴平面VBA⊥平面VBC．
（Ⅱ）過點E作EF⊥AC于點F，連接BF，則EF∥VA．
VA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴∠EBF為BE與平面ABC所成的角．
∵點E為VC的中點，∴點F為AC的中點．
∴BF=

1

2

AC，EF=

1

2

VA．
在Rt△EFB中，由tan∠EBF=

EF

BF

=

VA

AC

=

3

，∴∠EBF=60°，
∴直線BE與平面ABC所成的角為60°．

點評：本題考查了面面垂直，考查了空間線面角的找法與計算，是中檔題．