【題目】設, 是橢圓上的兩點,橢圓的離心率為,短軸長為2,已知向量, ,且, 為坐標原點.
(1)若直線過橢圓的焦點,( 為半焦距),求直線的斜率的值;
(2)試問: 的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據條件可得,再設直線的方程為: ,與橢圓聯(lián)立方程組,利用韋達定理和已知條件,即可求出的值;(2)先考慮直線斜率不存在的情況,即, ,根據,求得和的關系式,代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值,進而求得△AOB的面積的值;當直線斜率存在時,設出直線的方程,與橢圓聯(lián)立方程組,利用韋達定理表示出和,再利用,弦長公式及三角形面積公式求得答案.
試題解析:(1)由題可得: , ,所以,橢圓的方程為
設的方程為: ,代入得:
∴, ,
∵,∴,即:
即,解得:
(2)①直線斜率不存在時,即,
∵
∴,即
又∵點在橢圓上
∴,即
∴,
∴,故的面積為定值1
②當直線斜率存在時,設的方程為,
聯(lián)立得:
∴, ,
∴
所以三角形的面積為定值1.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 時,有 .
(1)求證:f(x)在[﹣1,1]上為增函數;
(2)求不等式 的解集;
(3)若 對所有 恒成立,求實數t的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列3個命題:
(1)函數f(x)在x>0時是增函數,x<0也是增函數,所以f(x)是增函數;
(2)若函數f(x)=ax2+bx+2與x軸沒有交點,則b2﹣8a<0且a>0;
(3)y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區(qū)間為[1,+∞).
其中正確命題的個數是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名,將其成績(均為整數)整理后畫出的頻率分布直方圖如下:
觀察圖形,回答下列問題:
(1)估計這次環(huán)保知識競賽成績的中位數;
(2)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選兩人,求他們在同一分數段的概率?
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