Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 時，有 ．
（1）求證：f（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)；
（2）求不等式 的解集；
（3）若 對所有 恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，則 ，

∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）為增函數(shù)

（2）解： ，等價于 ，求得0≤x＜ ，

即不等式 的解集為

（3）解：由于f（x）為增函數(shù)，

∴f（x）的最大值為 對 恒成立 對 的恒成立，

設(shè) ，則 ．

又 = =1+tan2α+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[﹣ ， ]，∴tanα∈[﹣ ，1]，故當(dāng)tanα=1時，

∴t2+t≥6，求得t≤﹣3 t≥2，即為所求的實數(shù)t的取值范圍．

【解析】（1）由條件利用增函數(shù)的定義證得結(jié)論．（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為一個不等式組，求得此不等式的解集即可．（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最大值，可得t2+t≥g（α）= +2tanα+2 對 的恒成立，再求得g（α）的最大值，從而求得t的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�)，還要掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．