Question

設(shè)x∈R的函數(shù)f（x）=

|x-4|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

，若函數(shù)g（x）=f²（x）-（2m+1）•f（x）+m²有7個零點，則實數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)g（x）的零點個數(shù)分別進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出函數(shù)的圖象如圖：
∵題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數(shù)根結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得，
令t=f（x），則關(guān)于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根為t=4，另一個根大于0且小于4．
把t=4代入方程t²-（2m+1）t+m²=0求得m=2或m=6．
當(dāng)m=2時，t=1或t=4即f（x）=1或f（x）=4，
得到f（x）=1有4個不同實根，
f（x）=4有3個不同實根，符合題意
∴m=2
當(dāng)m=6時，t=4或t=9即f（x）=4或f（x）=9，
f（x）=4有3個不同實根，
f（x）=9有2個不同實根，不符合題意；
故答案為：2

點評：本題考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于一道難題．