Question

已知直線l：3x-y-1=0及點(diǎn)A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）試在l上求一點(diǎn)P，使|AP|+|CP|最小，并求這個(gè)最小值；
（2）試在l上求一點(diǎn)Q，使||AQ|-|BQ||最大，并求這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）求出C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即可在l上求一點(diǎn)P，使|AP|+|CP|最�。�
（2）求出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即在l上求一點(diǎn)Q，使||AQ|-|BQ||最大．

解答： 解：（1）設(shè)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)（a，b），
則

3× 2+a 2 - b 2 =0 b a-2 ×3=-1

，解得a=-1，b=1，即C′（-1，1），
則AC′的直線方程為：y=1，聯(lián)立

3x-y-1=0 y=1

，解得x=

2

3

，y=1，
即交點(diǎn)為P（

2

3

，1），此時(shí)|AP|+|CP|最小，最小為|AC′|=4+1=5；
（2）設(shè)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)（a，b），則

3× a 2 - 4+b 2 -1=0 b-4 a-0 ×3=-1

，解得a=3，b=3，解得B′（3，3），
直線AB′的方程為

y-3

x-3

=

3-1

3-4

，即2x+y-9=0，
聯(lián)立

2x+y-9=0 3x-y-1=0

，解得

x=2 y=5

，即Q（2，5），
由對(duì)稱性知，|BQ|=B′Q|，|AQ|-|BQ|=|AQ|-|B′Q|≤|AB′|（當(dāng)且僅當(dāng)Q、B′、A三點(diǎn)共線時(shí)取“=”），
∴l(xiāng)上的點(diǎn)Q（2，5），是使||AQ|-|BQ||最大的點(diǎn)．
此時(shí)最大值為|AB′|=

(4-3)2+(1-3)2

=

5

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線關(guān)于直線，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求法，兩點(diǎn)兩點(diǎn)距離之和與差的最值問題，考查計(jì)算能力．